Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF，BD之间的位置关系为______，数量关系为______．②当点D在线段BC的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

Answer 1

（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图）
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=4

2

，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=4．
设CD=x，∴DQ=4-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴

CP

DQ

=

CD

AQ

，∴

CP

4?x

=

x

4

．
∴CP=-

1

4

x²+x=-

1

4

（x-2）²+1．
∴当x=2时，CP有最大值1．