Question

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：①平面MB1P⊥ND1；②平面MB1P⊥平面ND1A1；③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是______．

Answer 1

①平面MB₁P⊥ND₁；可用极限位置判断，当P与N重合时，MB₁P⊥ND₁垂直不成立，故线面不可能垂直，此命题是错误命题；
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以证明MB₁⊥平面ND₁A₁，由图形知MB₁与ND₁和D₁A₁都垂直，故可证得MB₁⊥平面ND₁A₁，进而可得平面MB₁P⊥平面ND₁A₁，故是正确命题；
③△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影在DC上，故其到MB的距离不变即可证得；
④△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是三角形，由于P与C₁重合时，P、B₁两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误．
综上②③正确
故答案为：②③．