Question

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，BP=2PA，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）以直线AB

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，BP=2PA，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；（Ⅱ）求点P到点D（0，-2）距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x，y），由题设知，直线AB的倾斜角为α，
∴x=

2

3

|AB|cos（π-α）=-2cosα，y=

1

3

|AB|sin（π-α）=sinα，
∴曲线C的参数方程为

x＝?2cosα y＝sinα

（α为参数，90°＜α＜180°）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
|PD|²=（-2cosα）²+（sinα+2）²
=4cos²α+sin²α+4sinα+4
=-3sin²α+4sinα+8
=-3（sinα-

2

3

）²+

28

3

；
当sinα=

2

3

时，|PD|取最大值

2 21

3

．