Question

已知函数f（x）=x 3 -x，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（Ⅱ）设a＞0，如果过点

已知函数f（x）=x 3 -x，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（Ⅱ）设a＞0，如果过点（a，b）时作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a＜b＜f（a）。

Answer 1

解：（Ⅰ）求函数f（x）的导数： ， 曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为： ， 即 ； （Ⅱ）如果有一条切线过点（a，b）， 则存在t，使 ， 于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程 有三个相异的实数根， 记 ，则 ， 当t变化时， 变化情况如下表： 由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值 时，方程g（t）=0最多有一个实数根； 当a+b=0时，解方程g（t）=0得t=0， ，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根； 当b- f（a）=0时，解方程g（t）=0得 ，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根； 综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条曲线， 即g（t）=0有三个相异的实数根，则 ， 即-a＜b＜f（a）。