?Σx2dydz+y2dxdz+z2dxdy，Σ为柱面x2+y2=1界于z=0与x+y+z=2之间部分的外侧
?Σx2dydz+y2dxdz+z2dxdy，Σ为柱面x2+y2=1界于z=0与x+y+z=2之间部分的外侧．...
?Σx2dydz+y2dxdz+z2dxdy，Σ为柱面x2+y2=1界于z=0与x+y+z=2之间部分的外侧．
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由于Σ：x2+y2=1垂直于xoy面，从而
z2dxdy＝0．
∴
x2dydz+y2dxdz+z2dxdy=
x2dydz+y2dxdz
应用高斯公式：补平面Σ1：z＝0(x2+y2≤1)取下侧．
补平面Σ2：z=2-x-y（x2+y2≤1）取上侧．
则
x2dydz+y2dxdz=
x2dydz+y2dxdz-
x2dydz+y2dxdz-
x2dydz+y2dxdz，
其中 I1=
x2dydz+y2dxdz=
(2x+2y)dv（Ω为∑、∑1、∑2所围成的立体区域）
=2
(x+y)dxdy
dz（D为Ω在xoy面的投影区域，即x2+y2≤1）
=2
(x+y)(2?x?y)dxdy
=4
xdxdy+4
ydxdy?4
xydxdy?2
（x2+y2）dxdy
=0?2
(x2+y2)dxdy
=?2
dθ
r3dr＝?π
I2＝
| ∫∫ |
 |
∴
| ? |
| Σ |
| ? |
| Σ |
应用高斯公式：补平面Σ1：z＝0(x2+y2≤1)取下侧．
补平面Σ2：z=2-x-y（x2+y2≤1）取上侧．
则
| ? |
| Σ |
| ? |
| Σ+Σ1+Σ2 |
| ? |
| Σ1 |
| ? |
| Σ2 |
其中 I1=
| ? |
| Σ+Σ1+Σ2 |
| ∫∫∫ |
| Ω |
=2
| ∫∫ |
| D |
| ∫ | 2?x?y 0 |
=2
| ∫∫ |
| D |
=4
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
=0?2
| ∫∫ |
| D |
=?2
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | 1 0 |
I2＝
| ? | |
Σ
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