Question

线性代数，非齐次线性方程组求基础解系！

非齐次线性方程组只有一个自由变量x3，求基础解系为什么令x3 = 1 , x3=0可以么？
对于非齐次线性方程组的结构，齐次的通解+非齐次的特解 ， 非齐次可以求通解吗？
对于齐次线性方程组只有一个自由变量x3，求基础解系令x3 = 1 or x3 = 0 ? 看到都是 = 0 ， 是不是因为要满足线性无关呢？

Answer 1

求非其次的特解，你令x3等于任何数都行，x3=0当然可以而且简单，所以一般都是令为0
求其次方程（导出组）的基础解系，只能领x3=1，而且一般都是令x3=x3，或者x3=t。不过反正基础解系前面有K，所以除了0都行，否则如果你令为0，就没有意义了。
其实就是写同解方程组

非其次的通解就是：齐次的通解+非齐次的特解
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对于齐次线性方程组只有一个自由变量x3，求基础解系令x3 = 1 or x3 = 0 ? 看到都是 = 0 ， 是不是因为要满足线性无关呢？

----------------------------------不太理解你这个问题。麻烦说明白一点----------------------

追问

非齐次方程组能求基础解系吗？
我的意思是齐次方程组只有一个自由变量x3，一般不都是有两个自由变量吗？ 一个（0,1）和（1,0）,这样可以保证基础解系线性无关。对于只有一个自由变量，我是取1呢？还是0呢？

追答

非其次当然能求基础解系。就是齐次的基础解系加上一个非其次的特解

谁说一般都是两个自由变量的？
自由变量的个数=未知量的个数-系数矩阵的秩。
另外不是取1取0的问题，你根本没理解怎么解方程。
你化为阶梯型之后，在每个阶梯上面取一个向量作为基础向量，剩下的都是自由，然后就可以写出同解方程组了。假设只有一个自由X3，就令X3=X3
然后依次写出X1=aX3（根据你的系数矩阵）
X2=bX3（根据你的系数矩阵）
X3=X3 这就是通同解方程组（基础向量在左，自由向量在右）
通解就是k(a,b,1)T

追问

那如果是两个自由变量，齐次的应该怎么取？

追答

令自由变量等于自己。比如X3=X3，X4=X4
同解方程组
X1=X3+3X4
X2=X3
X3=X3
X4= X4

那么通解就是 k1(1,1,1,0)+k2(3,0,0,1)