Question

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC= AB=1，M是SB的

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC= AB=1，M是SB的中点，（1）证明：平面SAD⊥平面SCD； （2）求AC与SB所成角的余弦值； （3）求二面角M-AC-B的平面角的正切值。

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Answer 1

解：（1）由已知可得： ， ∴CD⊥平面SAD， 而CD 平面SCD， ∴平面SAD⊥平面SCD。 （2）设AC的中点O，SC的中点E，AB的中点F，BC的中点G，连结OE、OF、EF、EG、FG， EG∥SB，FG∥AC， ∴∠EGF是AC、SB所成的角（或补角），  ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴AC与SB所成的角的余弦值是 。 （3）连结MO，根据三垂线定理可得：MO⊥AC，MF⊥面ABCD，OF⊥AC， ∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角， ， ∴二面角M-AC-B的平面角的正切值是 。