Question

已知函数f（x）=（ 1 3 ） x ，x∈[-1，1]，函数g（x）=f 2 （x）-2af（x）+3的最小值为h（a

已知函数f（x）=（ 1 3 ） x ，x∈[-1，1]，函数g（x）=f 2 （x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n 2 ，m 2 ]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由 f(x)=( 1 3 ) x ，x∈[-1，1] ， 知 f(x)∈[ 1 3 ，3] ， 令 f(x)∈[ 1 3 ，3] 记g（x）=y=t 2 -2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有： ①当 a≤ 1 3 时，g（x）的最小值h（a）= 28 9 - 2a 3 ②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12-6a ③当 1 3 ＜a＜3 时，g（x）的最小值h（a）=3-a 2 综上所述， h(a)= 28 9 - 2a 3 ?a≤ 1 3 3- a 2 ? 1 3 ＜a＜3 12-6a?a≥3 （2）当a≥3时，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数， 所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]． 由题意，则 h(m)= n 2 h(n)= m 2 ? -6m+12= n 2 -6n+12= m 2 ， 两式相减得6n-6m=n 2 -m 2 ， 又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾， 故不存在满足题中条件的m，n的值．