Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作AB的垂线ED，交BA的延长线于点D，EA的延长线与⊙O交于

已知：如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作AB的垂线ED，交BA的延长线于点D，EA的延长线与⊙O交于点C，DC=DE．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若sin∠ACD＝55，⊙O的半径为5，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，
∵DE=DC，
∴∠4=∠E，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠4+∠1=∠E+∠3=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）∵∠4=∠E，
∴sin∠E＝

5

5

，
设AD=k，则AE＝

5

k，ED＝2k，
∴DC=2k，
在Rt△OCD中，
由勾股定理得：OD²=DC²+OC²，
∴(

5

+k)2＝(2k)2+

5

2，
∴k＝0(舍)，k＝

2 5

3

，
∴AE＝

5

k＝

10

3

．