Question

观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…由上面的规律：（

观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…由上面的规律：（1）求25+24+23+22+2+1的值；（2）求22011+22010+22009+22008+…+2+1的个位数字．（3）你能用其它方法求出12+122+123+…+122010+122011的值吗？

Answer 1

（1）由题可知：
原式=（2-1）（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）=2⁶-1=64-1=63；

（2）原式=（2-1）（2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1…）=2²⁰¹²-1，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，
∴2ⁿ（n为自然数）的各位数字只能为2，4，8，6，且具有周期性．
∴2012÷4=503×4，
∴2²⁰¹¹+2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2+1的个位数字是6-1=5；

（3）设S=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22010

+

1

22011

，
则2S=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22010

，
所以，S=1-

1

22011

．