Question

（2013?嘉定区二模）如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点（不与B、C重合），点F在CD边的延长线上，且满足D

（2013?嘉定区二模）如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点（不与B、C重合），点F在CD边的延长线上，且满足DF=BE．联结EF，点M、N分别是EF与AC、AD的交点．（1）求∠AFE的度数；（2）求证：CECM＝ACFC．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD．…（1分）
在△ABE和△ADF中，

BE＝DF ∠B＝∠ADF＝90° AB＝AD

∴ABE≌△ADF（SAS）．…（1分）
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．…（1分）
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF．
∴∠AFE=∠AEF=

1

2

×90°=45°．

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AEB=∠AFD．
∵∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+∠CAE，∠AFD=∠AFE+∠CFM=45°+∠CFM，
∴∠CAE=∠CFM．
又∵∠ACB=∠ACD，
∴△ACE∽△FCM．
∴

CE

CM

＝

AC

FC

．