Question

已知函数f（x）=2x?1，0≤x＜12f(x?1)，x≥1，方程f（x）=12的解从小到大组成数列{an}．（Ⅰ）求a1、a2；

已知函数f（x）=2x?1，0≤x＜12f(x?1)，x≥1，方程f（x）=12的解从小到大组成数列{an}．（Ⅰ）求a1、a2；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）0≤x＜1时，由f（x）=

1

2

得2x?1＝

1

2

，∴x=log2

3

2

，
即a₁=log2

3

2

．
1≤x＜2时，0≤x-1＜1，f（x）=2f（x-1）=2^x-2，
由f（x）=

1

2

得2^x-2=

1

2

，∴x=log2

5

4

+1，
∴a₂=log2

5

4

+1；
（Ⅱ）设n-1≤x＜n，则0≤x-（n-1）＜1，
∴f（x）=2¹f（x-1）=2²f（x-2）=…=2^n-1f[x-（n-1）]=2^n-1（2^x-n+1-1）=2^x-2^n-1，
∵2ⁿ＜2ⁿ+1＜2ⁿ⁺¹，∴x=log₂（2ⁿ+1）-1∈（n-1，n），
即方程f（x）=

1

2

在x∈[n-1，n）内有且仅有一个实根，
∴a_n=log₂（2ⁿ+1）-1．