Question

函数f(x)=丨x²-2x-3丨,x∈[0,m],(1)求函数f(x)的值域

若f（x）的值域为[3，λm]，求λ的取值范围

Answer 1

f(x)={x^-2x-3=(x-1)^-4,x<=-1或x>=3;
{-x^+2x+3=4-(x-1)^,-1<x<3.
(1)0<m<=1时f(x)的值域是[3,-m^+2m+3],
1<m<=1+2√2时f(x)的值域是[3,4],
m>1+2√2时f(x)的值域是[3,m^-2m-3].
(2)由(1),λ={(-m^+2m+3)/m=-m+3/m+2,0<m<=1;
{4/m,1<m<=1+2√2；
{（m^-2m-3)/m=m-3/m-2,m>1+2√2.
分别记上述3段为g1(m),g2(m),g3(m).
g1(m)↓，g1(0+)→+∞，g1(1)=4;
g2(m)↓，g2(1+2√2）=4（2√2-1）/7，
g3(m)↑，g3(+∞）→+∞，
∴λ的取值范围是[4(2√2-1）/7，+∞）。