Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（-1，

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得△APD为RT△，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

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Answer 1

(1)
将A,B,C带入函数得
9a+3b+c=0
a-b+c=0
-3=c
解方程组得
a=1, b=-2, c=-3
故函数为 y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4
所以 顶点 D(1, -4)
(2)
设P(0,y)
则 AP^2=9+y^2
DP^2=1+(y+4)^2=y^2+8y+17
AD^2=4+16=20
已知 △APD为RT△
若 角A=90度
则 DP^2=AP^2+AD^2 ===> y^2+8y+17=y^2+9+20 ===> y=3/2
若 角D=90度
则 AP^2=DP^2+AD^2 ===> y^2+9=y^2+8y+17+20 ===> y=-7/2
若 角P=90度
则 AD^2=AP^2+DP^2 ===> 20=y^2+9+y^2+8y+17 ===>y1= -3, y2= -1
因为 (0, y1)=(0, -3)=C 不合题意， 故 P=(0, -1)
综上，y轴上有3点使得△APD为RT△，分别是
P1(0, 3/2), P2(0, -7/2), P3(0, -1)

（3）

Answer 2

解：⑴∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），
∴9a+3b+c=0①a－b+c=0②c=﹣3③
联立①②③并解得a=1,b=﹣2,c=﹣3
∴y=x2－2x－3=(x－1)²－4
∴这个二次函数的解析式为y=x2－2x－3，顶点D(1，﹣4);

⑵经过A(3,0),D(1,﹣4)的直线解析式为y=2x－6；
①∠PAD＝90°时，经过点A（3,0）且与AD:y=2x－6垂直的直线为y=﹣½x＋3/2，它交y轴于P(0,3/2);
②∠PDA＝90°时，经过点D（1,﹣4）且与AD:y=2x－6垂直的直线为y=﹣½x－7/2，它交y轴于P(0,﹣7/2);
③∠APD＝90°时，线段AD的中点（2，﹣2）到点P(0，p)的距离的等于½AD,即√[﹙2－0﹚²＋﹙﹣2－p﹚²]＝½√[﹙3－1﹚²＋﹙0＋4﹚²],解得p=﹣1或﹣3，此时P(0，﹣1)或（0，﹣3）
综合点P的坐标为(0,3/2)，(0,﹣7/2)，(0，﹣1)或（0，﹣3）

⑶①∠PAD＝90°时，点Q和点P(0,3/2)关于点A(3，0)对称，∴Q(6，﹣3/2）；
②∠PDA＝90°时，点Q和点P(0,﹣7/2)关于点D（1,﹣4）对称，∴Q(2，﹣9/2）；
③∠APD＝90°时，经过P(0，﹣1)或（0，﹣3），Q的直线与直线AD：y=2x－6垂直相交于R(2，﹣2）或（1.2，﹣3.6）且点P和点Q关于点R对称，∴Q(4，﹣3)或（2.4，﹣4.2）；
综合点Q的坐标为(6，﹣3/2），(2，﹣9/2），(4，﹣3)或（2.4，﹣4.2）。