Question

如图,抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交予A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。交Y轴于C，

(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点 P的坐标。若没有，请说明理由

Answer 1

抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交予A(1,0),B(-3,0)两点,
得-1+b+c=0
-9-3b+c=0
得b=-2,c=3
该抛物线的解析式y=-x^2-2x+3
点C为（0.3）
△ABC的面积为1/2AB*OC=6

设在抛物线第二象限图象上存在点M(x0,y0)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形
则x0<0,y0>0
y0=-x0^2-2x0+3 (1)
再由MB^2=MC^2+BC^2得
(x0+3)^2+(y0-0)^2=(x0-0)^2+(y0-3)^2+(0+3)^2+(3-0)^2 (2)
由（1）和（2）可解得
y0=3,x0=0或者y0=4，x0=-1
又x0<0,y0>0
所以y0=4，x0=-1
在抛物线第二象限图象上存在点M(-1,4)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形.

Answer 2

1、将A（1，0），B（-3，0）坐标代入y=-x²+bx+c：
0 = -1+b+c，0=-9-3b+c
解得：b=-2，c=3
抛物线的解析式：y = -x²-2x+3
∴C坐标（0，3）
∴AB=|-3|+|1|=4
OC=|3|=3
∴S△ABC=1/2AB×OC=1/2×4×3=6

Answer 3

(1)抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交予A(1,0),B(-3,0),所以，0=-1+b+c，0=-9-3b+c，b=-2，C=3，抛物线的解析式y=-x^2-2x+3，顶点为D（-1，4），C（0，3），△ABC的面积=0.5*4*3=6
(2)，BC直线斜率为1，∠BCM为直角，则CM直线方程为，Y-3=-X，则和y=-x^2-2x+3，交点(-1,4),(0,3),因此在抛物线第二象限图象上存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点 M的坐标(-1,4)