Question

lim x趋于0[(tanx-sinx)/sinx^3]的极限

Answer 1

lim(x→0)［（tanx－sinx）/（sinx）^3］
＝lim(x→0)［（sinx/cosx－sinx）/（sinx）^3］
＝lim(x→0)［（1/cosx－1）/（sinx）^2］
＝lim(x→0)｛（1－cosx）/［cosx（sinx）^2］｝
＝lim(x→0)（1/cosx）（1－cosx）/［1－（cosx）^2］
＝lim(x→0)（1/cosx）（1－cosx）/［（1＋cosx）（1－cosx）］
＝lim(x→0)（1/cosx）［1/（1＋cosx）］
＝1×［1/（1＋1）］
＝1/2。

Answer 2

求极限x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]
解：x➔0lim[(tanx-sinx)/sin³x]=x➔0lim[(1/cos²x)-cosx]/(3sin²xcosx)
=x➔0lim[(1-cos³x)/(3sin²xcos³x)=x➔0lim[(3cos²xsinx)/(6sinxcos⁴x-9sin³xcos²x)]
=x➔0lim[(3cos²x)/(6cos⁴x-9sin²xcos²x)]=3/6=1/2

Answer 3

=lim(1/cosx-1)/(sinx)^2
=lim(1-cosx)/(sinx)^2cosx
=lim2(sin(x/2))^2/(sinx)^2
=(1/2)lim[(sin(x/2))^2/(x/2)^2][x^2/(sinx)^2]
=1/2