Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形。∴AG=DC。 ∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE= AG，DF= DC，即GE=DF，GE∥DF。 ∴四边形DEGF是平行四边形。 （2）连接DG， ∵四边形AGCD是平行四边形，∴AD=CG。 ∵G为BC中点，∴BG=CG=AD。 ∵AD∥BG，∴四边形ABGD是平行四边形。 ∴AB∥DG。 ∵∠B=90°，∴∠DGC=∠B=90°。 ∵F为CD中点，∴GF=DF=CF，即GF=DF。 ∵四边形DEGF是平行四边形，∴四边形DEGF是菱形。

试题分析：（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可。 （2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可。