Question

若不等式a（2x 2 +y 2 ）≥x 2 +2xy对任意非零实数x，y恒成立，则实数a的最小值为______

若不等式a（2x 2 +y 2 ）≥x 2 +2xy对任意非零实数x，y恒成立，则实数a的最小值为______．

Answer 1

由题意可得：不等式x 2 +2xy≤a（2x 2 +y 2 ）对于任意非零实数x，y恒成立， 即不等式（2a-1）x 2 -2xy+ay 2 ≥0对于任意非零实数x，y恒成立， 即不等式（2a-1）（ x y ） 2 -2? x y +a≥0对于任意非零实数x，y恒成立， 设t= x y ，所以（2a-1）t 2 -2t+a≥0对于一切t∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立， 设f（t）=（2a-1）t 2 -2t+a，t∈（-∞，0）∪（0，+∞）， ①a= 1 2 时，显然不符合题意，故舍去． ②当a≠ 1 2 时，函数的对称轴为t 0 = 1 2a-1 ， 所以由题意可得： 2a-1＞0 △=4-4(2a-1)a≤0 ，解得a≥1． 故答案为1．