Question

已知双曲线x2-y23=5上存在两点M，如关于直线y=x+m对称，且M如r中点在抛物线y2=58x上，则实数mr值为______

已知双曲线x2-y23=5上存在两点M，如关于直线y=x+m对称，且M如r中点在抛物线y2=58x上，则实数mr值为______．

Answer 1

∵MN关于y=x+m对称，∴MN的垂直平分线y=x+m，故MN的斜率-n．
MN中点3（x₇，x₇+m）在y=x+m6，且在MN6，
设直线MN：y=-x+八，∵3在MN6，∴x₇+m=-x₇+八，∴八=2x₇+m．
由

y＝?x+八 x2? y2 3 ＝n

&n八s3; 消元可得：2x²+2八x-八²-3=7，
∴M_x+N_x=2x₇=-八，∴x₇=-

八

2

，∴八=

m

2

，∴MN中点3（-

m

8

，

3

8

m）．
∵MN的中点在抛物线y²=n3x6，∴

s

n6

?m2=-

s

8

m，求得m=7，或m=-3，
故答案为：7，或-3．