Question

若函数y=xlnx+a有零点，则实数a的取值范围是______

若函数y=xlnx+a有零点，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

由于函数的定义域为（0，+∞），令函数的导数y′=lnx+1=0，求得x= e^(-1)

在（0， e^(-1)）上，y′＜0，函数y是减函数，

在（e^(-1) ，+∞）上，y′＞0，函数y是增函数，故当x= e^(-1)时，函数取得最小值．
要使函数有零点，需函数的最小值小于或等于零，即
e^(-1)•ln(e^(-1) ) +a≤0，∴a≤ e^(-1)，

即实数a的取值范围是(-∞，e^(-1)]

Answer 2

由于函数的定义域为（0，+∞），令函数的导数y′=lnx+1=0，求得x=

1

e

．
在（0，

1

e

）上，y′＜0，函数y是减函数，在（

1

e

，+∞）上，y′＞0，函数y是增函数，故当x=

1

e

时，函数取得最小值．
要使函数有零点，需函数的最小值小于或等于零，即

1

e

?ln

1

e

+a≤0，∴a≤

1

e

，
即实数a的取值范围是(?∞，

1

e

]，
故答案为 (?∞，

1

e

]．