Question

求f（x）=（x-1）[2x2-（3a+4）x+9a-4]在区间[0，3]上的最大值与最小值，其中0＜a＜2

求f（x）=（x-1）[2x2-（3a+4）x+9a-4]在区间[0，3]上的最大值与最小值，其中0＜a＜2．

Answer 1

∵f（x）=（x-1）[2x²-（3a+4）x+9a-4]
∴f′（x）=6（x-2）（x-a）
∴f′（x）=0的零点是x=a，和x=2
又∵f（2）=3a-4，f（a）=-a³+6a²-9a+4
f（0）=4-9a，f（3）=4，
∵0＜a＜2
∴f（a）-f（2）=（a³+6a²-9a+4）-（3a-4）
=（2-a）3＞0
f（3）-f（0）=4-（4-9a）=9a＞0
∴最大值只可能是f（a）与f（3）
再比较f（3）-f（a）=a?（3-a）²＞0
最大值是f（3）=4
最小值只能是f（2）与f（0），而f（2）-f（0）=4（3a-2）
故当0＜a＜

2

3

时，f（2）＜f（0），
于是f（x）在[0，3]的最小值是f（2）=3a-4
当

2

3

≤a＜2时，f（2）≥f（0），此时最小值是f（0）=4-9a
从而f（x）在[0，3]上

最大值是4 最小值是 3a-4，0＜a＜ 2 3 -9a+4， 2 3 ≤a＜2

故答案为：最大值为：4
          当0＜a＜

2

3

时，最小值为：3a-4
          当

2

3

≤a＜2时，最小值为：-9a+4