Question

（2011?安徽模拟）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为P

（2011?安徽模拟）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：GC⊥平面PEF；（2）求证：PA∥平面EFG；（3）求三棱锥P-EFG的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．
（2）证明：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，
∵E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD．
∵G，H分别为BC，AD的中点，
∴GH∥CD．
∴EF∥GH．
∴E，F，H，G四点共面．
∵F，H分别为DP，DA的中点，
∴PA∥FH．
∵PA?平面EFG，FH?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．
（3）解：∵PF＝

1

2

PD＝1，EF＝

1

2

CD＝1，
∴S△PEF＝

1

2

EF×PF＝

1

2

．
∵GC＝

1

2

BC＝1，
∴VP?EFG＝VG?PEF＝

1

3

S△PEF?GC＝

1

3

×

1

2

×1＝

1

6

．