Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3，若a1，a2，a3成等比数列，且n≥3时，an＞0（1）求证：当n≥3

已知数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3，若a1，a2，a3成等比数列，且n≥3时，an＞0（1）求证：当n≥3时，{an}成等差数列；（2）求{an}的前n项和Sn．

Answer 1

解答：（1）证明：∵4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
两式相减整理可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵n≥3时，a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴n≥3时，{a_n}成等差数列；
（2）解：∵4S₁=a₁²+2a₁-3，
∴a₁=3或a₁=-1，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴a_n+1+a_n=0，
∴q=-1，
∵a₃＞0，
∴a₁=3，
∴a_n=

3?(?1)n?1(n＝1，2) 2n?3(n≥3)

，
∴S_n=

3 2 [1?(?1)n](n＝1，2) n2?2n(n≥3)

．