Question

x^2/（1+x^2）^2的积分是多少，怎么算

求详细过程，谢谢了！

Answer 1

方法一：∫［x^2/（1＋x^2）^2］dx
＝（1/2）∫［（1＋x^2）/（1＋x^2）^2］dx－（1/2）∫［（1－x^2）/（1＋x^2）^2］dx
＝（1/2）∫［1/（1＋x^2）］dx－（1/2）∫［（1＋x^2－2x^2）/（1＋x^2）^2］dx
＝（1/2）arctanx－（1/2）∫｛［x′（1＋x^2）－x（1＋x^2）′］/（1＋x^2）^2｝dx
＝（1/2）arctanx－（1/2）∫d［x/（1＋x^2）］
＝（1/2）arctanx－（1/2）［x/（1＋x^2）］＋C
＝（1/2）arctanx－x/（2＋2x^2）＋C。
方法二：令x＝tant，则：t＝arctanx，dx＝（sect）^2dt，
于是：∫［x^2/（1＋x^2）^2］dx＝∫｛（tant）^2/［1＋（tant）^2］^2｝（sect）^2dt
＝∫｛（tant）^2/［1/（sect）^2］｝dt
＝∫（sint）^2dt＝（1/2）∫（1－cos2t）dt
＝（1/2）∫dt－（1/4）∫cos2td（2t）
＝（1/2）t－（1/4）sin2t＋C
＝（1/2）arctanx－（1/2）sintcost＋C
＝（1/2）arctanx－（1/2）sintcost/［（cost）^2＋（sint）^2］＋C
＝（1/2）arctanx－（1/2）tanx/［1＋（tanx）^2］＋C
＝（1/2）arctanx－（1/2）x/（1＋x^2）＋C
＝（1/2）arctanx－x/（2＋2x^2）＋C。

Answer 2

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx
= ∫ dx/(1+x^2) -∫ dx/(1+x^2)^2
=arctanx -∫ dx/(1+x^2)^2
let
x=tany
dx = (secy)^2 dy
∫ dx/(1+x^2)^2
=∫ (cosy)^2 dy
=(1/2)∫ (1+cos2y) dy
=(1/2)[ y+(1/2)sin(2y) ]
=(1/2)[ arctanx +( x/(1+x^2) ) ]

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx
=arctanx -∫ dx/(1+x^2)^2
=arctanx -(1/2)[ arctanx +(x/(1+x^2)) ]
=(1/2)arctanx -(1/2)[x/(1+x^2)] + C