Question

已知抛物线C：y 2 =2px的焦点为F，抛物线C与直线l 1 ：y=-x的一个交点的横坐标为8．（I）求抛物线C方程；

已知抛物线C：y 2 =2px的焦点为F，抛物线C与直线l 1 ：y=-x的一个交点的横坐标为8．（I）求抛物线C方程；（II）不过原点的直线l 2 与l 1 垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点 为P，且|OP|=|PB|，求△FAB的面积．

Answer 1

（I）由题意，抛物线C与直线l 1 ：y=-x的一个交点的坐标为（8，-8）， 代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8， ∴抛物线C方程为y 2 =8x； （II）∵不过原点的直线l 2 与l 1 垂直，∴可设l 2 的方程为x=y+m， 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），直线l 2 与x轴交点为M 直线方程代入抛物线方程，可得y 2 -8y-8m=0 △=64+32m＞0，∴m＞-2 由韦达定理得y 1 +y 2 =-8，y 1 y 2 =-8m，∴x 1 x 2 =m 2 ， 由题意，OA⊥OB，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =m 2 -8m=0 ∴m=8或m=0（舍去） ∴l 2 的方程为x=y+8，M（8，0） ∴S △FAB = 1 2 |FM|| y 1 - y 2 | =3 ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 =24 5 ．