Question

已知函数f（x）=﹣x 3 +3x 2 +9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[一2，2]上的最

已知函数f（x）=﹣x 3 +3x 2 +9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

解：（I）f′（x）=﹣3x 2 +6x+9． 令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3， 所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）． （II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）． 因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增， 又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减， 因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值， 于是有22+a=20，解得a=﹣2． 故f（x）=﹣x 3 +3x 2 +9x﹣2， 因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．