Question

已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}

已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1+b22+b33+…+bnn=an（n∈N*），求{bn}的通项公式bn；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中项，a₁=1，
∴2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，
∴q=

a3

a2

=2，
∴an＝a1qn?1=2^n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*），
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=2^n-1，①
∴b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn?1

n?1

=2^n-2．②
①-②，得

bn

n

=2^n-2．
∴b_n=n?2^n-2．
（Ⅲ）∵b_n=n?2^n-2，
∴S_n=1?2^-1+2?2⁰+3×2+…+n?2^n-2，③
2S_n=1?2⁰+2×2+3×2²+…+n?2^n-1，④
③-④，得-S_n=

1

2

+1+2+22+…+2n?2?n?2n?1
=

1

2

+

1?2n?1

1?2

?n?2n?1
=

1

2

+2n?1?1?n?2n?1，
∴S_n=（n-1）?2^n-1+

1

2

．