Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．（III）设平面PBC和平面PAD的交线为直线l，试判定直线l与平面ABCD的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（本题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA＝1，PD＝

2

所以PD²=PA²+AD²，
所以PA⊥AD，（3分）
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
所以PA⊥平面ABCD．（6分）
（Ⅱ）四棱锥P-ABCD的底面积为1，
因为PA⊥平面ABCD，
所以四棱锥P-ABCD的高为1，
所以四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

．（10分）
（ III）l∥平面ABCD．（11分）
∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，（12分）
又∵BC?平面PBC且平面PBC∩平面PAD=l
由线面平行的性质定理得：BC∥l，（13分）
又∵BC?平面ABCD，l?平面ABCD，
∴l∥平面ABCD．（14分）