Question

高三数学难题，在线等答案(要求有详细步骤），谢谢！

Answer 1

第一，若k=0，F(x)=f(x)，显然当x≥0时，恒为正，当x<0时，恒为负，此种情况无零点；
第二，若k<0，F(x)=f(x)-kx，显然当x≥0时，F(x)恒为正，当x<0时，F(x)恒为负，此种情况无零点；
第三，若k>0，x正半轴上有且只有一个零点，x负半轴上有且只有一个零点，需分段考虑：
当x≥0时，方程f(x)-kx=0有且只有一个正根x=1/√(4k²-1)，故k>1/2才能保证方程有且只有一个正根；
当x<0时，方程f(x)-kx=0无负根或有且只有一个负根，通过数形结合分析可知，如果k大于或等于函数f(x)=-ln(1-x)在x=0处的切线斜率，则方程f(x)-kx=0无负根；如果k小于函数f(x)=-ln(1-x)在x=0处的切线斜率，则方程f(x)-kx=0有且只有一个负根；经计算得到该切线斜率为1，故k<1才能保证方程有且只有一个负根.
综上可知，函数F(x)有且只有两个零点的条件是k∈(1/2,1).

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