Question

如图，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，求证：BC=AC AD

Answer 1

解法一(补法)：延长CA到点E，连接DE，使得DE=AD
则∠DAC=2∠E
因为∠DAC=2∠B
所以∠E=∠B
又因为∠ECD=∠BCD，DC=DC
所以△ECD≌△BCD（AAS）
所以BC=EC=AE+AC=AC+ AD
解法二（割法）：在CB上截取CF=CA，连接DF
又因为∠ACD=∠FCD，DC=DC
所以△ACD≌△FCD（SAS）
所以AD=FD，∠DFC=∠A=2∠B
所以∠BDF=∠B
所以BF=DF
所以BC=BF+CF=AC+AD
方法小结：在条件或结论中，只要出现线段和差关系，一般的采用割补法作辅助线。

Answer 2

从A向CD引垂直线，交CD于F，交BC于E
因为 ∠ACD=∠BCD，所以三角形ACF与BCF相似，所以AC=CE，AF=EF
因为 F为AE中点，DF垂直于AE，所以，三角形ADE为等腰三角形，所以AD=DE
因为 ∠ACD=∠BCD，AC=EC，AD=DE，所以三角形ACD与ECD相似，所以∠CED=∠CAD
因为 ∠CED=∠EBD+∠BDE，∠CED=∠CAD=2∠CBD， 所以∠BDE=∠DBE，所以三角形BDE为等腰三角形，所以BE=DE=AD
所以BC=BE+EC=AD+AC

Answer 3

证明：在BC上做一点E，使CE=AC，连接DE
因为 CD是∠ACB的平分线
所以 ∠ACD=∠DCE
又因为DC是公共线，CE=AC
所以 △ADC全等于△DEC
所以 AD=DE ∠A=∠DEC
又因为 ∠A=2∠B ∠DEC=∠B+∠BDE
所以 ∠B=∠BDE
所以 BE=DE=AD
又因为BC=BE+EC
所以 BC=AD+AC

Answer 4

在BC上截取EC=AC，连接DE
因为CD是∠ACB的平分线，所以∠ACD=∠DCE
DC=DC,AC=EC,所以ΔACD≌ΔECD
所以∠A=∠DEC AD=DE
在ΔEDB中，∠DEC=∠B+∠BDE=∠A
因为∠A=2∠B
所以∠B=∠BDE
BE=DE 又因 AD=DE 所以BE=AD
所以BC=BE+EC=AC+AD

Answer 5

两种办法：
1.将三角形ACD沿着CD折叠下来，接下来就简单证明结论了
2.延长AC到E，使得AE=AD，再证明三角形ECD与三角形BCD全等即可