Question

证明：已知关系R与S是对称关系，证明：RºS是对称关系当且仅当RºS=SºR

证明：已知关系R与S是对称关系，证明：RºS是对称关系当且仅当RºS=SºR

Answer 1

分析：
R是对称关系，则对∀x,y∈A，有<x,y>∈R→<y,x>∈R
S是对称关系，则对∀x,y∈A，有<x,y>∈S→<y,x>∈S

RoS是对称关系，充要条件是：<x,y>∈RoS→<y,x>∈RoS
RoS=SoR，充要条件是：<x,y>∈RoS→<x,y>∈SoR∧<x,y>∈SoR→<x,y>∈RoS

证明：
（1）=>
①对∀<x,y>∈RoS
∵RoS是对称关系
∴必有<y,x>∈RoS
所以一定存在z∈A，<y,z>∈R∧<z,x>∈S
又因为R与S都是对称关系
所以有：<z,y>∈R∧<x,z>∈S
于是：<x,y>∈SoR

②对∀<x,y>∈SoR
一定存在z∈A，<x,z>∈S∧<z,y>∈R
因为R与S都是对称关系
所以有：<z,x>∈S∧<y,z>∈R
于是：<y,x>∈RoS
又∵RoS是对称关系
∴<x,y>∈RoS

综上，RoS=SoR

（2）<=
对∀<x,y>∈RoS,
有<x,y>∈SoR
一定存在z∈A，<x,z>∈S∧<z,y>∈R
因为R与S都是对称关系
所以有：<z,x>∈S∧<y,z>∈R
∴<y,x>∈RoS