高等代数线性空间一题求解
令V为数域p上一线性空间。证明：若V上线性函数f非零，则存在V的一个基底，使得任意a属于V，f(a)=x1^a其中x1^a为a在该基底下的第一个坐标分量...
令V为数域p上一线性空间。证明：若V上线性函数f非零，则存在V的一个基底，使得任意a属于V，f(a)=x1^a其中x1^a为a在该基底下的第一个坐标分量
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需要假定V是有限维空间，无限维空间基的存在性都成问题了（需要承认选择公理才能保证有基）
f是V->p的线性映射，秩为1，所以其核空间Ker(f)是n-1维的（n是V的维数）
取Ker(f)的一组基e_2,...,e_n，再从V中取一个向量e_1满足f(e_1)≠0
那么e_1/f(e_1),e_2,...,e_n就是一组满足要求的基
f是V->p的线性映射，秩为1，所以其核空间Ker(f)是n-1维的（n是V的维数）
取Ker(f)的一组基e_2,...,e_n，再从V中取一个向量e_1满足f(e_1)≠0
那么e_1/f(e_1),e_2,...,e_n就是一组满足要求的基
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追问
抱歉…可是能不能不用核空间来求解?因为目前还没有学到…
追答
先随便取一组基，把f的表示矩阵写出来（是一个行向量），然后用Gauss消去法消去这个向量中的n-1个元素即可。
另外，这类问题不要计较什么先学后学，你以后要学的知识并不依赖于这道题的结论。
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