Question

在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P为 BC上一点,求证:PB²+PC²=2PA²

Answer 1

以A为原点，AC为y轴正方向，AB为x轴正方向。设AB=AC=m,则BC直线方程为x+y=m,再设P坐标为（u，v），因为P在BC上，∴其方程为y=－(x-u)+v.其横纵坐标之和满足u﹢v=m

∴ 2 PA²=2(u²+v²), PB²﹢PC²=﹙u-m﹚²﹢v²﹢﹙v－m﹚²﹢u²=2﹙v²﹢u²﹚＋2m²－2m﹙u﹢v﹚＝2﹙v²﹢u²﹚.

Answer 2

过A作AM垂直于BC，垂足为M。
设AB为1，PB为x
则AM=二分之根号二，PM=二分之根号二减x，求出PA^2，PB=x，PC=根号二减x，求出PB^2 PC^2，最后得出两倍关系