Question

y=log3x+logx3-1.求函数的值域

Answer 1

解：
对数有意义，底数>0，且≠1，真数>0
解得x>0，x≠1，函数的定义域为(0，1)U(1，+∞)
log3(x)=1/logx(3)
分类讨论：
(1)
x>1时，log3(x)>0，logx(3)>0
由均值不等式得：log3(x)+logx(3)≥2
y≥2-1=1
(2)
0<x<1时，log3(x)<0，logx(3)<0
-log3(x)>0，-logx(3)>0
由均值不等式得：-log3(x)-logx(3)≥2
log3(x)+logx(3)≤-2
y≤-2-1=-3
综上，得y≤-3或y≥1，函数的值域为(-∞，-3]U[1，+∞)

总结：
1、本题是一道质量较高的关于对数函数与均值不等式的综合习题。
2、解题思路：
①、首先判定函数的定义域。
②、确定需要进行分类讨论。
③、log3(x)<0，logx(3)<0时，可先对其相反数运用均值不等式。