Question

问: 【1】如图1所示,若P为等边△ABC内一点,∠BPC=150° (1)如图一所示,点P为等边

问: 【1】如图1所示,若P为等边△ABC内一点,∠BPC=150°
(1)如图一所示,点P为等边△ABC的内一点,∠BPC=150°,△BPP'是等边三角形,求证PC^2+PB^2=PA^2
(2)如图二所示,点P为等边△ABC外一点,∠BPC=30°,问（1）中的结论是否成立?若成立,说明理由,若不成立,所处PC、PB、PA的数量关系并加以证明.

Answer 1

（1）因为 BP'=BP
BA=BC
∠ABP'=∠CBP
所以 △ABP'≌△CBP
PC=P'A,∠BPC＝∠BP'A=150°
所以 ∠AP'P=150°-60°=90°
AP^2=AP'^2+PP'2
因为PP'=BP,P'A=PC
所以证得 PC^2+PB^2=PA^2
（2）成立
将△ABP绕点C逆时针旋转60°，得△CBP’连PP’
由题意得，CP=CP’ ∠PCP’=60°
∴△CPP’为等边三角形
∴∠CPP’=60°
∴∠∵∠BPC=30°
BPP’=90°
在Rt△BPP’中
BP²=PB²+PP’²
∵△CPP’≌△CBP
∴PB=PA
∵△CPP’为等边三角形
∴PP’=PC
∴PA²=PB²+PC²

追问

第二问作辅助线有图吗，谢谢

Answer 2

（1）因为 BP'=BP
BA=BC
∠ABP'=∠CBP
所以 △ABP'≌△CBP
PC=P'A,∠BPC＝∠BP'A=150°
所以 ∠AP'P=150°-60°=90°
AP^2=AP'^2+PP'2
因为PP'=BP,P'A=PC
所以证得 PC^2+PB^2=PA^2
（2）成立
将△ABP绕点C逆时针旋转60°,得△CBP’连PP’
由题意得,CP=CP’ ∠PCP’=60°
∴△CPP’为等边三角形
∴∠CPP’=60°
∴∠∵∠BPC=30°
BPP’=90°
在Rt△BPP’中
BP²=PB²+PP’²
∵△CPP’≌△CBP
∴PB=PA
∵△CPP’为等边三角形
∴PP’=PC
∴PA²=PB²+PC²

追问

第二问作辅助线有图吗？

追答

没有，你可以自己尝试

追问

不会，画不出来

追答