Question

已知⊙o中,弦AB⊥CD于E,若AC=BD,ON⊥BD于N,OM⊥AC于M,求证;四边形OMEN为菱形

Answer 1

∵AC=BD ∴OM=ON（圆心到等弦距离相等）…………①
∵AB⊥CD ∴△EBD是直角三角形
∵ON垂直平分BD ∴EN是△EBD斜边中线
∴EN=½BD。（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）…………②
延长NE交于AC于F。
根据直角三角形斜边中线性质，
有NE=½BD,NE=ND, ∴∠NDE=∠NED,
∴∠NED=∠CEF（对顶角相等）
同弦圆周角∠B=∠C
∴∠CEF+∠C=∠NED+∠B=90°，∴NF⊥AC,
OM⊥AC,∴NF∥OM, 同理EM∥ON
∴四边形OMEN是平行四边形，即OM=EN=½BD…………③
综上所述：在平行四边形OMEN中有OM=ON=EN
∴平行四边形OMEN是菱形。

Answer 2

证明OMEN为菱形，即证明OM=ON=EM=EN
∵AC=BD，圆心到等弦距离相等
∴可以证明OM=ON
∵AB⊥CD
∴⊿EBD是直角三角形
∵ON垂直平分BD
∴EN是⊿EBD斜边中线
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴EN=½BD。到此我们就要证明ON=½BD
此题没有提到ON和BD的长度关系
因为我们知道弦BD越长，则圆心到弦的距离ON越短