Question

高等数学函数极限问题

求(tanx-sinx)/(sinx)^3的极限，我是这么算的，先把分式拆开，求两个极限之差，然后用等价无穷小，得到lim(1-x^2)-lim(1-x^2)结果是0可正确答案是0，我想知道为什么我这种做法错了
正确答案是0.5.打错啦

Answer 1

1.原则上说是可以分开之后展开，再对每个分式使用无穷小的
但是这需要你分开的两个式子的极限相减有意义才行
此处不然
其次看着你的等价无穷小有错
tanx~x
sinx~x

注意分母是(sinx)^3~x^3
因为
tanx/(sinx)^3 ~ x/x^3=1/x^2极限是正无穷
sinx/(sinx)^3 ~ x/x^3=1/x^2极限是正无穷
正无穷-正无穷是不定型

2.如果直接taylor展开到一定阶数也是可以的（一般不用）
但是由于分母的阶是x^3
你分子必须至少展开到x^3,才能保证不犯错。

3.正确做法:
tanx=sinx/cosx
原式上下同乘cosx
=(sinx-sinxcosx)/[(sinx)^3 cosx]
同除sinx (因为取极限，x≠0，只是趋向于0)
=(1-cosx)/[(sinx)^2 cosx]
此时再用等价无穷小
1-cosx~x^2/2
sinx~x
cosx~1
=(x^2/2)/[x^2*1]
=1/2

所以先尽可能化简，然后再等价无穷小，注意只有乘除可以用等价无穷小。

Answer 2

无穷小不能直接减无穷小
此题如果用等价无穷小，可以这么做：
tanx=x+x^3/3+...
sinx=x-x^3/3!+
tanx-sinx=(1/3+1/6)x^3=1/2*x^3
(sinx)^3= x^3
这样两者相除，即得1/2.

Answer 3

你错在两个无穷大的差不一定是“0”，比如n和n^2
正确做法，(tanx-sinx)/(sinx)^3=sinx（1-cosx）/(sinx)^3cosx=（1-cosx）/(sinx)^2cosx
=1/2x^2/x^2=1/2

Answer 4

先拆开的话变为了无穷减无穷型，显然不行。
这个题有很多方法，一是将tanx写为sinx/cosx来算，通分即可。而是将tanx在0处做泰勒展示，tanx==x+x^3/3+2x^5/15+.....，sinx也做泰勒展示。

Answer 5

(tanx-sinx)/(sinx)^3=sinx（1-cosx）/(sinx)^3cosx=（1-cosx）/(sinx)^2cosx
=1/2x^2/x^2=1/2

Answer 6

用 tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx 然后再用等价无穷小 可追问