Question

三角形几何题

已知D是AC中点，BE⊥AC，∠CBD=∠ABE，试证明AB⊥BC。（若不是请举反例，是则详细说明）

Answer 1

先给个高级点的证法。
证明：∵BE⊥AC，BD与BE互为等角共轭线，∴△ABC的外心O∈BD
∵BD为△ABC的中线，∴重心G∈BD，∴BD为△ABC的欧拉线
∴垂心H∈BD，又∵H∈BE，∴H=B，即B为△ABC的垂心
∴AB⊥BC

也可用三角函数运算（鄙人不善运算，故不能给出过程）

最后给出一个初等证法。
证明：过点C作CF⊥BC交BD延长线于点F。
则∠F+∠CBF=90°，∵∠CBF=∠ABE，∠A+∠ABE=90°
∴∠A=∠F，∴A,B,C,F四点共圆
设圆心为O，则O在AC的中垂线上。
又△BCF是直角三角形，∴O在BF上。
∴O为AC中垂线和BF的交点，此交点显然为点D
∴△ABC的外接圆圆心是AC边中点D
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，即AB⊥BC

Answer 2

因为是沿CD对折
所以△ADC与△EDC全等
所以CE=AC=3
又因为E是BC中点
所以BC=6
D到BC边的距离即D到CE的距离
又由全等可得D到CE的距离等于D到AC的距离（设该距离为h）
△ACD的面积=h·AC/2=3h/2
△BCD的面积=h·BC/2=6h/2
△ABC的面积=AC·BC/2=3*6/2=9=△ACD的面积+△BCD的面积=3h/2+6h/2=9h/2
所以h=2
即D到BC的距离是2

Answer 3

如果没有其它条件就是题错了，因为G点的位置不是很明确（跟宽有关），然后F点没什么作用。