Question

如图所示，抛物线Y=1/2X^2+bX-2与X轴交于A（-1,0）

（1）求抛物线解析式的坐标
（2）判断△ABC的行状，并证明。
（3）点M（m，0）是一个动点，当MC+MD最小时，求M点的坐标.

Answer 1

(1)把点A（-1,0）代入抛物线Y=1/2X^2+bX-2得b=-3/2
抛物线解析式为Y=1/2X^2-3/2X-2
顶点D坐标为(3/2,-25/8)
(2)由抛物线解析式为Y=1/2X^2-3/2X-2,求得点B坐标为(4,0),点C坐标为(0,-2),
∴|AC|=√5,|AB|=5,|BC|=2√5
∴|AC|²+|BC|²=|AB|²
△ABC是直角三角形
(3)点M（m，0）是一个动点，当MC+MD最小时，求M点的坐标
∵点D关于X轴的对称点D’坐标为(3/2,25/8),连接MD’则有MD=MD’
∴MC+MD=MC+MD’≥CD’
∴当MC+MD最小时，M点在直线CD’上
∵直线CD’的方程为Y=41X/12-2
把（m，0）代入方程得m=24/41