Question

我想问下关于离散数学的对称与反对称还有自反的问题.

首先3个关系的定义我知道.
如果有以下几个集合
R1{(1.1)(2.2)(3.3)}
R2{(1.1)(1.2)(2.1)(2.2)}
R3{(1.2)(2.3)(31)}
我知道 R1是自反的
R3是反对称的
根据对称与反对称的定义.
如果{(a,b)属于R}那么蕴含{(b,a),属于R} 这个是对称的定义
如果{(a,b)属于R}并且{(ba),属于R} 那么蕴含a=b.
根据对称的定义 那么R1应该是自反同时是对称的.

但根据反对称定义.{(a,b)属于R}并且{(b,a),属于R} 那么蕴含a=b. 那么R1即是自反同时又是对称的再又是反对称的.存在这种关系吗?
如果R1是反对称的 那么R2为什么又是对称的? 难不成集合里可以有即是对称又是反对称的关系?
哪个高手可以替小弟解答一下吗?

Answer 1

对的，有既对称又反对称的关系。你的结论都是对的。如果这三个关系都是集合X={1，2，3}上的关系，则：
R1满足自反、对称、反对称（R1还满足传递）
R2满足对称（R2还满足传递）
R3满足反对称（R1还满足反自反、传递）

Answer 2

对称关系（symmetric relation）的反义词是非对称关系（asymmetric relation），而不是反对称关系（antisymmetric relation）。相等关系，比如R1，既是对称又是反对称的。