Question

如图：等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90,D,E为AC上的点，且AD=CE,AF⊥BD于G,交BC于F,连接FE并延长，

交BD的延长线于H.
1.判断△DHE的形状说理。
2.求证：BH=AF+FH.

Answer 1

以A为原点，AC延长线为y轴，AB延长线为x轴，建立平面直角座标系
设AC=1，AD=a
则
BH：y=-ax+a
BC：y=-x+1
AF：y=x/a
E：(0,1-a)
由AF交BC得
F： (a/(1+a),1/(1+a))
则得
EF：y=ax-a+1
由BH与EF相交得
H：(1-1/(2a),1/2)
由H的y轴座标为1/2可知H在AC上的垂足在AC中点，所以三角形DHE为等腰三角形，
HD=HE

由两点间距离得
BH=√[(1-1/(2a)-1)²+(1/2-0)²]=√(1+a²)/2a
AF+FH=√[(a/(1+a))²+1/(1+a)²]+√{[a/(1+a)-(1-1/(2a))]²+[(1/(1+a)-1/2)]²}
=√(1+a²)/2a
所以BH=AF+FH

Answer 2

1.△DHE为等腰三角形,其中DH=EH.
证明:作CM垂直CA,交AF的延长线于M,则:∠MCF=∠ECF=45º.
∵∠ABD=∠CAM(均为∠BAG的余角);
AB=AC;∠BAD=∠ACM=90º.(已知)
∴⊿BAD≌⊿ACM(ASA),BD=AM;AD=CM=CE;∠M=∠BDA=∠HDE.
∵CM=CE;CF=CF;∠MCF=∠ECF=45º.
∴⊿MCF≌⊿ECF(SAS),FM=FE;∠M=∠CEF=∠HED.
则:∠HED=∠HDE(等量代换),得HD=HE.
2.证明:∵BD=AM;FM=FE;HD=HE.(已证)
∴BH=BD+HD=AM+HE=AF+FM+HE=AF+FE+HE=AF+FH.(等量代换)