Question

若lim[f(x)+f'(x)]=0，x趋于正无穷且f'(x)在0到正无穷上连续,证明limf(x)=limf'(x)=0，x趋于正无穷。

急

Answer 1

楼主应该是考虑太多了，其实这题就是解微分方程f'(x)=-f(x)，得到在x趋于正无穷时有y=C乘以e的-x次方，则可直接得到limf(x)=limf'(x)=0。楼主算一下就明白了，不要局限于一般常用的证明思路才是解决证明该题的王道。

Answer 2

无穷/无穷型的洛必达法则
lim f(x)=lim e^xf(x)/e^x 洛必达法则得

=lim e^x(f(x)+f'(x)/e^x
=lim f(x)+f'(x)
=0,
于是lim f'(x)=lim f(x)+f'(x)-f(x)
=lim f(x)+f'(x)-lim f(x)
=0