Question

高数简单题 积分的 求详解啊 不懂过程

这个是怎么来说的 过程太快了 上面那行到下一行 可以再详细点吗

Answer 1

因为(arctanx)' = 1/(1+x^2) = (1+x^2) / (1+x^2)^2
(1/(1+x^2))' = -2x / (1+x^2)^2
(x/(1+x^2))' = (1-x^2) / (1+x^2)^2
所以答案一定是以上三者的线性组合，把系数配出来就可以了

或者用换元法，计算∫dx/(x^2+1)^2时，令x=tant
则dx/(1+x^2)^2 = (sect)^2 dt / (sect)^4 = (cost)^2 dt = (1+cos2t)dt/2
积分得(1/2)t + (1/4)sin2t + C= (1/2)t + (1/2)sintcost + C= (1/2)arctanx + (1/2)x/(1+x^2) + C

追问

恩其实 我是初学者 这个也不是很明白

追答

凑微分
∫du/u^2=-1/u + C
把u=x^2+1代入即可

Answer 2

过程不是太快了，而是可能直接查积分表了。过程略得太多了。
主要是第二个积分：
∫ 1/(x²+1)² dx
令x=tanu，则x²+1=sec²u，dx=sec²udu
=∫ sec²u/(sec²)² du
=∫ cos²u du
=(1/2)∫ (1+cos2u) du
=(1/2)u + (1/4)sin2u + C
=(1/2)u + (1/2)sinucosu + C
=(1/2)arctanx + (1/2)[x/√(1+x²)][1/√(1+x²)] + C
=(1/2)arctanx + (1/2)x/(1+x²) + C

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

上面那步到下面那步不是很明白  只要是中间那个

追答

由于tanu=x，则u=arctanx
然后你自己画一个直角三角形，设其中一个锐角为u，由于tanu=x，则u的对边设为x，邻边可设为1，这样用勾股定理就可求出斜边为√(1+x²)，然后就很容易求出sinu和cosu了吧
sinu=x/√(1+x²)
cosu=1/√(1+x²)