Question

已知双曲线X^2/a^2－Y^/b^2＝1(a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存...

已知双曲线X^2/a^2－Y^/b^2＝1(a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使正弦角PF1F2/正弦角PF2F1=a/c，则该双曲线的离心率的取值范围是？

Answer 1

不妨设点P在双曲线右支上
由正弦定理，因csin角PF1F2=asin角PF2F1得
c|PF2|=a|PF1|
所以c/a=|PF1|/|PF2|=(2a+|PF2|)/|PF2|=(2a)/|PF2|+1
又点P（异于实轴的端点
所以|PF2|>c-a
所以c/a<2a/(c-a)+1即
e<2/（e-1)+1
解得1-√2<e<1+√2
又e>1
所以1<e<1+√2

Answer 2

设P在双曲线右支上
c|PF2|=a|PF1|
所以c/a=|PF1|/|PF2|=(2a+|PF2|)/|PF2|=(2a)/|PF2|+1
|PF2|>c-a
c/a<2a/(c-a)+1即
e<2/（e-1)+1
得1-√2<e<1+√2
又e>1
所以1<e<1+√2

Answer 3

c|PF2|=a|PF1|

c/a=|PF1|/|PF2|=(2a+|PF2|)/|PF2|=(2a)/|PF2|+1

|PF2|>c-a

c/a<2a/(c-a)+1即
e<2/（e-1)+1

解得1-√2<e<1+√2
又e>1
所以1<e<1+√2

Answer 4

自己做