Question

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2...

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线x=14y2的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为_____22．

Answer 1

解：抛物线x=14y2的焦点为（1，0），
即双曲线的c=1，F1（-1，0），F2（1，0），
可设A（（m，n）（n＞0），
则△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，
则有AF2=F1F2=2c=2，
又抛物线的准线方程为x=-1，
由抛物线的定义可得AF2=m+1=2，
则m=1，n=2，A（1，2），
由双曲线的定义可得2a=AF1-AF2
=22+22-2，
即有a=2-1，
则离心率e=ca=12-1=1+2．
故答案为：1+2．