Question

高中数学：已知数列An中，an>0,Sn是前n项和，且An+An分之一=2Sn,求An通项公式

Answer 1

由A1+1/A1=2S1=2*A1知，A1=1；
由A2+1/A2=2S2=2*A2+2*A1，得A2=√2-1；
由A3+1/A3=2S3，得A3=√3-√2；
……
推测 An=√n-√(n-1)；
据此进行下列验算：
Sn=A1+A2+A3+……+An-1+An=1+(√2-1)+(√3-√2)+……+[√(n-1)-√(n-2)]+[√n-√(n-1)]=√n；
An+1/An=[√n-√(n-1)]+1/[√n-√(n-1)]=[√n-√(n-1)]+[√n+√(n-1)]/[n-(n-1)]=2√n；
从而 An+1/An=2*Sn；
An=√n-√(n-1)即为该数列通项公式；

追问

前三个式子不能先化简再计算吗？算起来很麻烦 如果先化简成简单式子，就用不着验算啊，有更简便写的算法吗？

追答

其实就是算两个一元二次方程，系数都类似，并不难算。难的是求解通项式过程，想直接根据数列各项之和导出通项公式更麻烦，可能需要很多步骤、列许多式子、观察总结，同样也要证明一下。如能预知通项形式直接予以证明那将是最简单的捷径了。

追问

可我是高二生啊，这种方法好是好，我用不起啊，老师没教过啊，他说只能用无穷推有限，这样算肯定是他不认可的

追答

题目并未规定做题方法，你哪种拿手就用哪种。但数列前三项先求出再总结规律或不能缺省，一般采用数归纳法，其实也就是按照找出或发现的规律先作假定或推测，然后再证明推测合理且满足要求。

如上；
先由A1+1/A1=2S1=2A1求得A1=1，S1=√1；
次由A2+(1/A2)=2S2=2A2+2A1=2A2+2求得 A2=√2-1，S2=√2；
再由A3+(1/A3)=2S3=2A3+2√2，求得A3=√3-√2，S3=√3；
……
假定Sn=√n成立（或假定An=√n-√(n-1)成立），则An+(1/An)=2Sn=2√n，可求得 An=√n-√(n-1)；
据归纳法，当为n+1时，A(n+1)+1/(A(n+1))=2S(n+1)=2A(n+1)+2Sn，1/(A(n+1))-A(n+1)=2Sn=2√n；
可求得 A(n+1)=√(n+1)-√n，S(n+1)=√(n+1)；说明上述假设正确；
所以，以An=√n-√(n-1)为数列通项公式，不需要再作其它证明，但到少求解五个类同一元二次方程。

Answer 2

当n=1
a1=1
当n>=2
An+An分之一=2Sn
An-1+An-1分之一=2Sn-1
An分之一-An-1分之一=An-AN-1
通分知
An*An-1=-1
知道
An*An+1=-1
(An+1)/(An-1)=1
说明奇数项值相同
偶数项的值相同
A(2n+1)=1
A(2n)=A2
你解出a2好了

追问

知道下面An*A(n+1)是怎么来的

追答

哦，我算错了，不好意思了。。。。
1/An-1/An-1=An+An-1
An-1/An=-Sn-1
而An+1/An=Sn
两式相加
2An=An
你看这还有什么问题吗

追问

没什么。为什么An-1/An=Sn-1?

追答

又眼算错了，你参考楼下的，那是数学归纳法。。。
反证你将来是高考的哪