Question

如图圆O是等腰△ABC的外接圆，AB=AC，直线MN经过点C，且CA平分∠BCN

①求证直线MN是圆O的切线②过A作AD⊥MN，垂足为D，AD交圆O于D，若圆O的半径为5，CD为3，求AB的长

Answer 1

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①∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∵AC平分∠BCN，∴∠ACN=∠ACB=∠B。
过C作直径CE，连接AE，则∠CAE=90°，
∴∠E+∠ACE=90°，
∵∠E=∠B=∠ACN，
∴∠ACN+∠ACE=90°，
∴MN为⊙O的切线。
②过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF，且AF过圆心O，
∵∠ADC=∠AFC=90°，AC=AC，∠ACN=∠ACB，
∴ΔACD≌ΔACF，∴CF=CD=3，连接OC，
在RTΔOCF中，OF=√OC^2-CF^2=4，
∴AF=9，
在RTΔACF中，AC^2=AF^2+CF^2=81+9=90
∴AB=AC=3√10。