Question

∫(sinx)^2/(cosx)^3 dx 求不定积分

我们只学了凑微分法和换元法，，，求解

Answer 1

∫ sin²x/cos³x dx
= ∫ tan²xsecx dx
= ∫ (sec²x - 1)secx dx
= ∫ sec³x dx - ∫ secx dx
对于∫ sec³x dx = ∫ secx d(tanx)
= secxtanx - ∫ tanx d(secx)
= secxtanx - ∫ tanx(secxtanx) dx
= secxtanx - ∫ (sec²x - 1)secx dx
= secxtanx - ∫ sec³x dx + ∫ secx dx
2∫ sec³x dx = secxtanx + ∫ secx dx
∫ sec³x dx = (1/2)secxtanx + (1/2)∫ secx dx
∫ sin²x/cos³x dx = (1/2)secxtanx + (1/2 - 1)∫ secx dx
= (1/2)secxtanx - (1/2)ln| secx + tanx | + C

追问

∫ secx d(tanx)
= secxtanx - ∫ tanx d(secx)
这一步不明白啊，，，为什么啊？可以写的详细点吗？

追答

分部积分法
∫ udv = uv - ∫ vdu
想想导数的乘法就知道了

Answer 2

凑微分和换元法不好求，步骤很麻烦。稍后你们会学到分部积分法。用两步分部积分法就可以求出来了。符号不好写就不写具体步骤了。把sinx放到d后面就成cosx了。