Question

已知X属于(0,a],求F(X)=x^2+1/x^2+x+1/x 的最小值,过程希望详细些。

Answer 1

解：因为f(x)=x^2+2x*(1/x)+1/x^2+x+2√x*(1/√x)+1/x-4=(x+1/x)^2+(√x+1/√x)^2-4>=-4
再设g(x)=x+1/x,则g‘(x)=1-1/x^2
当0<x<1时，g'(x)<0,x>1时，g'(x)>0,所以，g(x)在x=1处取到最小值
因此，如果a>1,则最小值应该在x=1处取到，这时候，Fmin=4
若a<1,则最小值应该在x=a处取到，最小值为F（a）=a^2+1/a^2+a+1/a

追问

那个g'(x)等于1-1/x^2是怎么得来的呢，过程是什么

追答

就是 g(x)的导数，由导数的正负可以判断函数的单调性。

Answer 2

∵x∈（0,a｝
∴x^2+1/x^2≥2*x^2×（1/x^2）＝2
x+1/x ≥2*x×（1/x）＝2
∴ x^2+1/x^2+x+1/x ≥2+2=4
即F（x）的最小值是4

追问

我自己做也是4，但是题目有个 a，我觉得答案应该是有分类讨论的。谢谢。

追答

事实上，f（a）＝a^2+1/a^2+a+1/a,它最小也是a

Answer 3

x^2+1/x^2+x+1/x
=1+1/x^2+1+1/x

=(1/x)^2+1/x+2
=(1/x+1/2)^2+7/4
x取值越大，F(X)越小，因此，当x=a时，F(X)值最小，即：F（X）最小值=(1/a+1/2)^2+7/4