Question

非齐次线性方程(1-x^2)y''+2xy'-2y=-2,已知其一个解y1=x.

楼主已经求出该式的齐次线性方程为y=C1（x^2+1）+C2x，怎么求y*啊？..就是一个特解..

Answer 1

观察即可得非齐次线性微分方程的一个特解y*=1。
或用常数变易法：设y'=C1(x)×(x^2+1)+C2(x)×x。把方程改写成y''+2x/(1-x^2)y'-2/(1-x^2)=-2/(1-x^2)，解方程组
C1'(x)×(x^2+1)+C2'(x)×x=0
C1'(x)×2x+C2'(x)×1=-2/(1-x^2)
解C1(x),C2(x)，得y*。

追问

嗯第二个方程组我无法解出y*=1...- -anyway， 还是满意答案吧~不过如果可以的话帮我解答一下吧。

追答

解出C1'(x)=2x/(1-x^2)^2，C1(x)=1/(1-x^2)。
C2'(x)=-2(1+x^2)/(1-x^2)^2，C2(x)=-2x/(1-x^2)。
y*=C1(x)*(x^2+1)+C2(x)*x=1

Answer 2

这答案也不对吧？
一个解是y=x只能说y=cx是微分方程解，
不能说微分方程通解就是y=cx，
而验证答案可得c(x²+1)显然也是微分方程解。